如果无穷大不存在

      读完 Morris Kline 的《数学：确定性的丧失》。可以看出作者在书中的深沉而又复杂的感情。产生了下面的几个想法：

      如果我们放弃数学本身的先验的真理性，放弃公理化与逻辑的先验真理性；如果我们认为数学本身如同其他学科一样，只是人基于现实生活的中的经验。人们为了理解这个世界（这本身以假设这个世界是可理解的）进而发明了各个学科，这各个学科也包括数学，包括演绎所需要的公设与逻辑学。那么我们所发明出来的这些学科本身就可能是有缺陷的，因为人本身是有缺陷的。而如何让我们所发明的学科不变为神秘主义的玄学，或是只能纸上谈兵的空论，作者强调，去回答大自然向我们提出的问题，而不是自己给自己提出的问题。即指，智力本身是没有价值的，智力的价值在于其来自现实，并且人能够依靠之更好地认识现实，解决现实中的问题。如果智力只是在研究智力本身，就失去了自身的源泉，只能拥有美学价值。类似的原因，为艺术而艺术的思想，也是不值得赞同的。走题了，越说越远了。

      作者述及试图重建数学的四种思想：逻辑主义、直觉主义、公理形式化、集合论公理化。这四者中，除了直觉主义，其他三者都已遇到致命的反驳，没法自己仍然正确。这些挫折包括：逻辑本身的缺陷,不是对逻辑的使用中的缺陷，不是具体的逻辑的缺陷，而是逻辑本身的缺陷；哥德尔等人的致命结论：任何一组公理都会有很多无法用这些公理得到的真理；同一句真理可以有很多组不同的公理得到。当我们以若干真理为标准反向推得一组公理之后，我们无法预知这组公理除了会推得这些真理之外，还会说出多少你根本不期望的，甚至无法接受的"真理"。而依照直觉主义的标准，我们现在的大部分数学都要放弃，以符合直觉的方式重建。但实践上，这种重建成效甚微。

      因而有这个异常残酷这个问题：当数学都不可靠时，我们还能相信什么。我们如何期待在数学基础之上建立的整个科学仍然有效？诸门学科的实践上，我们总是把问题推到数学上，就像信仰上帝的人把不能理解的问题推给上帝。我们说到某个问题，说这就是数学家的事，他们都用很严格的手段证明过了，我们记住这些结论就行了。正如那些信仰上帝的人，不管遇到任何不理解的问题就推说是上帝的旨意。同样的不负责任。如果不存在上帝，我们还能坦荡自信的像平常一样生活么？我认为能，我个人能。但是数学呢，如果数学并非像我们原先假定的那样严密和无懈可击，我们还能像平常一样坦荡地自信的生活下去么？我认为也能，但是压力会大一些。我们不得不放弃对于理性的完全信任，不得不承认人的理性是有局限的。但是我们只要坚定地把目光放回到现实中，现实中的，建立于数学之上的科学，与建立与科学之上的技术。看看它们的成功。如果航天飞机和人造卫星都是幻影，那我们也至少是和他们同等真实的幻影；我们和我们所看到的一切同样真实，并不比它们更虚幻，这已是我们的极限。我们不能认识我们不可能认识的东西，我们不可能做到>超越自己能力的事。我们和我们看到的树一样真实，比树的影子更加真实。

      下面我们回到这篇文章所应该说的问题。

      在数学中，无穷大是产生很多问题的根源。物理上也是一样。无穷大是不可回避的问题。即使是极限，也必须用到无穷和极限，无穷小的问题还是要归于无穷大。没有极限，就没有无理数，因而没有实数。无穷大的含义是指，不论取多大的数，总可以找到比它更大的数（潜无穷），还是说确实存在一个"大得不能再大、要多大有多大"的极限(实无穷）？而在现实中，即使是天文观测中，也不支持上面任何一种无穷大。一切事物都是有限的。如果我们认为数学的理论只是数学的理论，而现实世界是有限的，我们大可以接受这样的论>述：无穷大只是数学上的一个设想，在我们的现实中，在所有的现实中，无穷大都不存在。我们需要假设无穷大存在，以继续我们的论证，证明我们认为正确，而在实际中也得以"印证"的理论，并在此理论之上继续向上建起思想的大厦。然而这个现实已向我们证明这个假设是多么地合理，多么地有效和"有用"。正如在有的情景之下，我们假设出上帝存在，而且假设他全知全能，假设他至善。再此基础上，论证出人必须向善、必须虔诚、必须遵循法律、不得犯罪。而我们只要坚信这些道理本身是正确的，即使我们没有上帝存在的假设，我们的生活不会受到任何影响。然而，这个上帝的假设，除了让人向善、虔诚，不知有多少罪行和不义也在此假设之下变得合理化。

      即使数学中只有自然数，无穷大也很可能是一个不得不要求的必然假设。我们可以说一把伞、两个伞、却不能几分之几把伞，因为我们可以把若干伞分成全同的一把一把的伞，但是我们不能把一把伞分成若干全同的部分。这也是直觉主义只接受整数的原因。但是无疑这里有个假设：我们可以把一些东西分成若干全同的部分。这个假设就"暗示"着可以一直分下去直到"不能再分"的全同部分（至少是在思想中完成这一过程），以及这些全同部分可能累积到无穷大。当我用"暗示"这个词时，我的意思不是，第一个假设可以推出后面两个假设。而是如果我们接受第一个假设，我们会"很自然地"接受后面两个假设。比如说，如果我们接受"平面是有没有厚度"的这个定义，我们也会"很自然地"接受"直线是没有宽度"的，以及"点是没有体积"的这样的定义。（很抱歉，我不能更加清晰地解释"自然"这个含义了。）我们可以这样试想：如果我们接受直觉上的整数，我们就很难接受"不存在大于一万的整数，大于一万的整数是没有意义"之类的假设（但我们很容易接受"零作除数是没有意义的"这个看法）；）同样，我们如果认为我们可怀疑把一堆伞分成全同的一把一把的伞，我们也会"相对来说比较容易地"接受"一把伞还是可以分成若干全同的'原子'，只是我们目前没有发现这种'原子'"这种假设。

      上面那段话，我希望我能够说明，人的假设是有倾向性的。当我们预先有一个比较确信的假设之后，对于后来进入我们思维的两个不同的假设，我们可能会倾向于去其中一个而不是另一个。（要切记，没有某个假设是先验地具有真理性的。）而我们既已在不同的假设（公设、公理）之上推得数学的宏伟体系，这一体系已经以有力的证据和强大的说服力使我们相信它的正确性和真理性。但是我们仍然要面对这个体系所得到的一些与现实不符的情形。面对着这些情形和悖论，我们的思维习惯是（而且这是正确的态度！），试图做小的修修补补，而不是推到大厦重建。这个态度是极端正确的，不然数学就会像中国的历史一样进入无尽的"治久必乱，乱久必治；合久必分，分久必合"的无尽循环。但是我们仍然可以猜想，空想，目前的某一个别的不符，是不对深层的假设做变更就不能解决的。

      回到无穷大，现在没有任何事实使我们相信，无穷大能够在这个现实的世界中有存在的可能（倒是无穷小有在现实中存在的可能，这似乎也让人感到一丝——尴尬- -!）。因此，我在毫无依据地空想，有的问题是需要放弃无穷大后的体系才能得以解决的。简单的说是这样。非但是实无穷，即使是潜无穷，我认为现实中也丝毫不支持。比如，不管地球上现在有多少人，总有可能让这个地球上拥有更多的人，这种潜无穷的概念。只要用地球质量除以一个婴儿的质量，就可以给出地球上人口的一个绝对松弛的上限。人体内某种必不可少的元素在地球上的总量的有限性也可以给出一个上限。但是我这种空想是没有用的，仅仅说一个理论或一个概念抽象地可能是错的，这种否定态度极容易走向类似虚无主义之类。还是要在现实的问题中，在具体的判断中，经过无数次（可能是）注定失败的尝试，我们才有可能构建更为坚固的大厦。